Методы триангуляции

Все методы триангуляции по принципу построения можно разбить на две большие группы: прямые методы и итерационные методы (рисунок 2.5). В прямых методах сетка строится за один этап, причем ее топология (иначе говоря, граф связей между узлами) и координаты всех узлов известны изначально. В итерационных методах сетка строится последовательно; на каждом шаге добавляется один или несколько элементов, причем изначально не известны ни координаты узлов, ни топология сетки. Кроме того, координаты узлов и топология могут меняться прямо в процессе построения .

Сетки, построенные с помощью прямых методов, могут быть использованы и в итерационных методах. В первую очередь это касается методов граничной коррекции . Размещение узлов в методах на основе критерия Делоне нередко осуществляется с помощью одного из прямых алгоритмов (с последующей коррекцией) .

Рисунок 2.5 - Классификация методов дискретизации

Прямые методы

Главными преимуществами прямых методов являются высокая скорость работы, надежность и простота реализации; основным недостатком - ограниченная область применения. Фактически, эффективно использовать прямые методы можно только для триангуляции самых простых областей - шара, параллелепипеда, цилиндра и т.п. Впрочем, нередко такие области являются частью некоторых сложных областей, и использование прямых методов вместо итерационных в этом случае позволяет существенно экономить машинные ресурсы и время .

Рассмотрим, например, так называемую "кубическую сетку" (рисунок 2.6), то есть сетку, полученную разбиением исходного параллелепипеда на равные "кубы". Если размеры куба - hx, hy, hz, и он ориентирован по осям координат, то узел с индексами i,j,k имеет координаты (Ox + i*hx, Oy + j*hy, Oz + k*hz), а его соседями являются узлы с индексами (i ± 1, i, k), (i, j ± 1, k) и (i, j, k ± 1).

Рисунок 2.6 - Кубическая сетка

Методы на основе шаблонов

Шаблоном называют некий принцип размещения узлов и установки связей между ними. Каждый шаблон применим только к областям заданного вида. Благодаря такой узкой специализации, сетки, построенные на шаблонах, часто могут быть высокого качества .

Самая простая для триангуляции и в то же время довольно часто встречающая область - это параллелепипед (рисунок 2.7). Для нее предложено несколько различных шаблонов, и все они базируются на описанной выше кубической сетке.

Рисунок 2.7 - Разбиение куба на шесть (слева) и пять (справа) тетраэдров

Также существуют другие шаблоны, обладающие лучшими показателями за счет введения дополнительных узлов, каждый из которых соединяется с вершинами куба (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 - Вставка внутрь кубической сетки дополнительных вершин; справа отдельно изображен получающийся в результате ромбовидный элемент

Каждый из этих дополнительных узлов соединяется ребрами с вершинами куба, в результате чего исходный параллелепипед разбивается на два типа элементов:

1) граничные - в виде четырехугольной пирамиды (т.е. пирамиды, основанием которой является квадрат);

2) внутренние - в виде объемного ромба, составленного из двух четырехугольных пирамид, соединенных основаниями.

Чтобы разбить граничные пирамидальные элементы, достаточно вставить диагональное ребро (причем произвольно ориентированное); при этом получаются два одинаковых тетраэдра с АХ порядка 0.5 .

Разбить внутренние ромбовидные элементы можно уже несколькими различными способами, и именно выбранным вариантом различаются между собой 2 вида шаблонов:

1) Шаблон 1 - вставка диагонального ребра между узлами кубической сетки (рисунок 2.10):

2) Шаблон 2 - вставка ребра между дополнительными узлами (рисунок 2.6):

Триангуляцию цилиндра разумнее всего проводить путем разбиения его на слои (рисунок 2.11).

Рисунок 2.11 - Построение призматической сетки в цилиндре

Рисунок 2.12 - Вставка в призматическую сетку дополнительных узлов

Методы отображения

Методы отображения основаны на возможности построения взаимно-однозначного отображения между областями различной геометрической формы. Таким образом, используя оператор отображения, можно перенести сетку из некоторой (более простой) области на заданную.

Существенным недостатком этих методов является неизбежное ухудшение качества сетки из-за геометрических искажений, возникающих при отображении. Вместе с тем даже достаточно сложные операции отображения требуют сравнительно небольших затрат ресурсов, ведь при отображении меняются только координаты узлов, связи остаются неизменными .

Как правило, для отображения используются два типа преобразований - "простейшие" аффинные (линейные), позволяющие только растягивать/сжимать сетку и более универсальные изопараметрические, позволяющие отображать сетки даже в криволинейные области (рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 - Виды преобразований

Аффинным называется линейное преобразование координат:

В методах триангуляции аффинные преобразования, как правило, играют лишь незначительную вспомогательную роль.

Большее значение имеют изопараметрические преобразования. Заметим, что они нашли широкое применение не только в методах отображения, но и при решении задач на основе криволинейных элементов .

Сущность изопараметрического преобразования заключается в следующем: задается некая система внутренних координат (называемых "барицентрическими"), которая однозначным образом связывает положение любой точки данной геометрической формы (треугольник, квадрат, тетраэдр и т.д.) с определенным множеством базисных точек, также принадлежащих данной геометрической форме (в качестве таких точек обычно выбираются углы, середины сторон и т.п.). Таким образом, изменив положение базисных точек, можно легко определить и новое положение всех остальных точек, используя их барицентрические координаты .

Для каждой точки x=(x 1 ,x 2) невырожденного треугольника с вершинами б 1 ,б 2 ,б 3 (вершина б i имеет координаты (б i1 , б i2)), барицентрические координаты л 1 , л 2 , л 3 вводятся как решение системы:

Барицентрические координаты легко определяются через отношения площадей треугольников (рисунок 2.14):

Рисунок 2.14 - Барицентрические координаты

Подводя итог, заметим, что указанный метод без каких-либо особенностей переносится на случай трех измерений.

При проектировании сетей триангуляции должны соблюдаться требования, приведенные в табл.1

Таблица 1

Показатель	Класс
Средняя длина стороны треугольника, км	20-25	7-20	5-8	2-5
Относительная ошибка базисной выходной стороны	1:400000	1:300000	1:200000	1:100000
Примерная относительная ошибка стороны в слабом месте	1:150000	1:200000	1:120000	1:70000
Наименьшее значение угла треугольника, градус	40	20	20	20
Допустимая невязка треугольника, угл. с	3	4	6	6
Средняя квадртическая ошибка угла по невязкам треугольника, угл. с	0,7	1	1,5	2,0
Средняя квадратическая ошибка взаимного положения смежных пунктов, м	0,15	0,06	0,06	0,06

3.1. Расчет количества знаков

При проектировании сети триангуляции 3 и 4 классов необходимо рассчитать количество пунктов отдельного класса.

Требуемая плотность геодезических пунктов при общегосударственном картографировании территории страны зависит от масштаба топографической съемки, методов ее выполнения, а также от методов создания съемочного геодезического обоснования.

Таблица 2

Между длинами сторон треугольников разных классов должны соблюдаться следующие приближенные соотношения:

s 1= s 1 s 2 =0,58s 1 s 3 =0,33s 1 s 4 =0,19s 1 . (1)

Если за исходную принять длину стороны в триангуляции 1 класса, равную в среднем S 1 = 23 км, то по формулам (1) получим следующие длины сторон треугольников в сетях триангуляции 2-4 классов (табл. 3).

Таблица 3

В реальных сетях триангуляции треугольники несколько отступают от равносторонней формы. Однако в среднем для обширной по размерам геодезической сети соотношения (1) длин сторон треугольников должны более или менее точно соблюдаться, в противном случае общее число пунктов в сети может оказаться неоправданно завышенным. Среднее число пунктов разных классов на любой площади Р картографируемой территории можно рассчитать по формулам

где - площадь, обслуживаемая одним пунктом -го класса (i =1,2,3,4).Результаты вычислений следует округлять до целого десятка. В качестве примера по этим формулам определим число пунктов 3-4 классов на площади Р = 200 км 2 при n 1 = 0, n 2 =2 .

Для триангуляции 3 класса:

Для триангуляции 4 класса:

Следовательно, на площади снимаемой территории Р=200 км 2 должны запроектировать 11 пунктов, то есть 2 пункта 2 класса, 2 пункта 3 класса и 7 пунктов 4 класса.

3.2. Построение триангуляционной сети

При разработке графического проекта сети особое внимание следует обращать на выбор местоположения каждого отдельного пункта. Все пункты государственной геодезической сети должны быть расположены на командных вершинах местности. Это необходимо для того, чтобы, во-первых, обеспечить взаимную видимость между смежными пунктами при минимальных высотах геодезических знаков, во-вторых, возможность развития в будущем сети в любом направлении. Длины сторон между смежными пунктами должны соответствовать требованиям инструкции. Во всех случаях геодезические пункты должны находиться в таких местах, где будет обеспечена сохранность их положения в плане и по высоте в течение длительного времени. Поскольку на постройку геодезических знаков расходуется в среднем 50-60 % всех затрат на создание сети, необходимо уделять самое серьезное внимание выбору мест для установки пунктов на местности с целью снижения их высоты.

При проектировании сетей триангуляции разных классов важное значение имеет обеспечение надежной привязки сетей более низкого класса к сетям более высокого класса.

Рис. 1. Схемы привязки геодезических сетей к сторонам (а) и пунктам (б) триангуляции высшего класса

Рис.2. Схемы построения сетей триангуляции

После того как все пункты будут нанесены на карту, их соединяют прямыми линиями. На отдельном листе вычерчивают схему запроектированной сети, на которую выносят названия пунктов, длины сторон в километрах, значения углов в треугольниках с точностью до градуса, высоты земной поверхности с точностью до метра. Углы измеряют транспортиром по топографической карте. Суммы углов в треугольниках должны равняться 180º, а в полюсе центральной системы 360º. Длины сторон измеряются линейкой. Под схемой приводятся условные обозначения исходных сторон, сторон триангуляции и пунктов сети.

3.3. Расчет высот знаков

На пунктах геодезической сети строят геодезические знаки такой высоты, чтобы визирные лучи при угловых и линейных измерениях проходили по каждому направлению на заданной минимальной высоте над препятствием, не касаясь его. Сначала определяют приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ для каждой пары смежных пунктов, а затем корректируют их и находят окончательные значения высот l 1 и l 2 . Приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ (рис.3) вычисляют по формулам

где h 1 и h 2 - превышения вершины препятствия в точке С (c учетом высоты леса) над основаниями первого и второго знаков соответственно; а- установленная действующей инструкцией допустимая высота происхождения визирного луча над препятствием; u 1 и u 2 - поправки за кривизну Земли и рефракцию.

Знаки при h 1 и h 2 определяют по знакам разностей

h 1 =H c -H 1 ,

h 2 = H c -H 2 , (5)

где Н с - высота вершины препятствия в точке С; Н 1 и Н 2 - высота земной поверхности в местах установки первого и второго знаков.

Рис.3. Схема определения высоты геодезических знаков

Поправки v за кривизну Земли и рефракцию вычисляют по формуле

где k - коэффициент земной рефракции; R- радиус Земли; s- расстояние от препятствия до соответствующего пункта. При k = 0,13 и R=6371 км формула (6) примет вид

V=0,068s 2 , (7)

где v получают в метрах, a s выражено в километрах.

В том случае, если превышения h 1 и h 2 имеют один и тот же знак, а расстояния s 1 и s 2 существенно разные, высоты знаков l ’ 1 и l ’ 2 , вычисленные по формулам (4), будут значительно отличаться друг от друга: один знак низкий, а другой чрезмерно высокий (рис.4). Высокие знаки строить экономически невыгодно. Поэтому высоты знаков, вычисленные по формулам (4), необходимо откорректировать так, чтобы сумма квадратов окончательных высот знаков l 1 и l 2 была наименьшей, т. е. = min. При соблюдении данного требования расходы на постройку данной пары знаков будут, как правило, наименьшими, поскольку стоимость постройки каждого знака при прочих равных условиях почти пропорциональна квадрату его высоты.

Откорректированные высоты каждой пары знаков на концах стороны при соблюдении условия = min и выполнении требования о прохождении визирного луча на заданной высоте а над препятствием вычисляются по формулам

Рис.4. Схема корректирования высоты геодезического знака

На пункте с n направлениями будет получено n значений высоты знака, так как вычисления по каждой отдельной стороне (направлению) дадут разные значения высоты знака на данном пункте. За окончательную высоту принимают ту, при которой обеспечивается видимость по всем направлениям при минимальной (допустимой) высоте прохождения визирных лучей над препятствиями. Результаты расчетов высот геодезических знаков представить в таблице 4.

Таблица 4

Название точек	Расстояния s 1 и s 2	Высоты Н,м	Превышения h 1 и h 2	v, м	а,м	Приближенные высоты l 1 ’ и l 2 ’	Откорректи-рованные высоты	Стандартные высоты знаков
Лискино	2,4	137,5	3,5	0,4	1,0	4,9	6,2
С		141,0
Попово	5,2	138,2	2,8	1,8	1,0	5,6	2,8

Для наиболее сложных сторон построить профили, на которых кроме поверхности земли красной линией показать открывшуюся видимость после установки геодезического знака.

3.4. Предрасчет точности элементов сети триангуляции

Для уверенного использования окончательного варианта проекта геодезической сети необходимо иметь надежные численные характеристики слабых ее элементов. На составленной схеме находим слабые стороны сети. Слабая сторона находится по принципу равно удаленности ее от исходной стороны.

В качестве критерия точности принимается средняя квадратическая ошибка измеренных величин

где µ - средняя квадратическая ошибка единицы веса;

Р F – вес рассматриваемой функции.

За ошибку единицы веса принимается ошибка измеренных величин. Так как сеть еще проектируется, углы и длины, участвующие в предрасчете, определяются по топографической карте.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, входящего в центральную систему или геодезический четырехугольник, определяется по формуле

где m lgb - средняя квадратическая ошибка логарифма исходной стороны;

m β - средняя квадратическая ошибка измерения угла в рассматриваемом классе триангуляции;

R i – ошибка геометрической связи трегольника.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, являющегося элементом простой цепи треугольников определяется по формуле

Вычисление ошибки геометрической связи выполняется по формуле:

R i =δ 2 А i + δ 2 В i + δ А i * δ В i , (12)

где А i и B i – связующие углы в треугольниках;

δ А i , δ В i - приращения логарифмов синусов углов А и В при изменении углов на 1" в единицах 6-го знака логарифма. Значение δ можно определить по формуле

δ А i =МctgA i (1¤ρ")10 6 =2,11ctgA i . (13)

При предрасчете точности слабой стороны по средним квадратическим ошибкам, полученным по двум ходам, вычисляется среднее весовое значение по формуле:

где m lgS 1 и m lgS 2 средние квадратические ошибки определения от базиса по 1 и 2 ходам.

Относительную ошибку найдем по формуле

Пример. Запроектированная сеть триангуляции 3 класса состоит из центральной системы (рис.5). Слабой является сторона «Кленово-Завихрастово», выполним предрасчет ее точности, результаты вычисления ошибки геометрической связи по первому и второму ходу представим в таблице 5.

Рис.5.Фрагмент сети

Таблица 5

Ход 1				Ход 2
№	А	В	R i	№	А	В	R i
			5,44				5,05
			5,62				5,40
			6,28				4,81
		Сумма	17,34			Сумма	15,25

m lgS1 =5,11 ; m lgS2 =4,86; m Sn(ср) =3,52;

Вывод: Полученная относительная ошибка слабой стороны удовлетворяет требованиям инструкции для сети триангуляции 3 класса.

Предрасчет точности в триангуляции 4 класса выполняется аналогичным способом.

3.5. Расчет качества сети строгим способом

Расчет качества сети строгим способом произведем на примере сети, изображенной на рис.6. Для этой сети имеем имеем 9 независимых условных уравнений: 7 уравнений фигур, 1 условие горизонта, 1 полюсное условное уравнение. Исходные данные приведены в табл. 6

Таблица 6

Название пункта	№ угла	Угол, º	δ	Название пункта	№ угла	Угол, º	δ
A			0.68	F			1.08
		1.71	J			1.17
B			0.73			1.37
		1.27			1.65
C			1.37	O			0.60
		0.60			1.12
D			1.59			1.97
		1.71			1.32
E			1.59			1.03
		1.17			1.48
		0.98

Рис.6. Сеть триангуляции 3 класса

Условные уравнения фигур:

(1) + (2) + (3) + W1 = 0

(4) + (5) + (6) + W2 = 0

(7) + (8) + (9) + W3 = 0

(10) + (11) + (12) + W4 = 0

(13) + (14) + (15) + W5 = 0

(16) + (17) + (18) + W6 = 0

(19) + (20) + (21) + W7 = 0

Условные уравнения горизонта

(1) + (5) + (8) + (11) + (14) + (17)+ W8 = 0

Полюсные условные уравнения.

После логарифмирования, приведя к линейному виду, будем иметь

δ 2 (2)-δ 3 (3)+δ 4 (4)-δ 6 (6)+δ 7 (7)-δ 9 (9)+δ 10 (10)-δ 12 (12)+δ 13 (13)-δ 15 (15)+δ 16 (16)-δ 18 (18)+W9=0

Для составления весовой функции определяем слабую сторону по известному базису.

На основании полученной системы уравнений составим таблицу коэффициентов условных уравнений и весовой функции (табл. 7). Значения δ n вычислены по формуле δ=2,11ctgβ.

Таблица 7

Коэффициенты условных уравнений

№ п/п	a	b	c	d	e	g	h	i	k	f	s
	+1							+1		-0.60	+1.40
	+1								+1.59	+1.59	+4.18
	+1								-1.59		-0.59
		+1							+1.37		+2.37
		+1						+1			+2.00
		+1							-1.17		-0.17
									+0.68
			+1						+0.68		+1.68
			+1					+1			+2.00
			+1						-1.17		-0.17
									0.7
				+1					+0.73		+1.73
				+1				+1		+1.32	+3.32
				+1					-1.71	-1.71	-2.42
					+1				+1.37	+1.37	+3.74
					+1			+1			+2.00
					+1				-1.27	-1.27	-1.54
						+1			+1.71	+1.71	+4.42
						+1		+1			+2.00
						+1			-0.60	-0.60	-0.20
											+1.00
							+1				+1.00
							+1				+1.00
							+1				+1.00
Σ									-0.06	1.81	28.75

Так как мы имеем большое число условных уравнений, наиболее целесообразно вычислять обратный вес функции методом двухгруппового уравнивания. Обратный вес вычисляется по формуле

где f – коэффициенты заданной функции, для которой находят среднюю квадратическую ошибку; a, b, … - коэффициенты первичного, вторичного и т.д. преобразованных уравнений второй группы; , , … - суммы коэффициентов заданной функции по тем поправкам первого, второго и т.д. уравнений фигур первой группы, которые входят в выражение функции;

n 1, n 2 , … - число поправок, входящих соответственно в первые, вторые и т.д. уравнения фигур первой группы.

При разделении уравнений на две группы в первую группу включают все уравнения фигур (для нашей сети, т.к. нет перекрывающихся треугольников). Во вторую группу войдут все остальные уравнения и весовая функция, т.е. уравнение горизонта, полюса и уравнение функции.

Таблица 8

Коэффициенты условных уравнений первой группы

№ п/п	a	b	c	d	e	g	h	f
								-0.60
								1.59
							=0.99
							=0
							=0
								1.32
								-1.71
							=-0.39
								1.37
								-1.27
							=0.10
								1.71
								-0.60
							=1.11
							=0

I= 2 /n 1 + …+ 7 /n 7 = 0,33+0,05+0,003+0,41=0,79

Преобразованные коэффициенты вычисляются по формуле

А=а-[а]/n; В=b-[b]/n,

где А, В – преобразованные коэффициенты; n – число углов, входящих в треугольник; [а]/n – среднее значение непреобразованных коэффициентов в треугольнике; [а] – сумма непреобразованных коэффициентов в треугольнике.

Таблица 9

Таблица преобразованных уравнений второй группы и определение коэффициентов нормальных уравнений

N поправки	i	k	I	K	f	s
			0,67		-0,60	0,07
		1,59	-0,33	1,59	1,59	2,85
		-1,59	-0,34	-1,59		-1,93
	0,33
		1,37	-0,33	1,30		0,97
			0,67	-0,06		0,61
		-1,17	-0,34	-1,24		-1,58
	0,33	0,07
		0,68	-0,33	,84		0,51
			0,67	0,17		0,84
		-1,17	-0,34	-1,01		-1,35
	0,33	-0,16
		0,73	-0,33	1,06		0,73
			0,67	0,32	1,32	2,31
		-1,71	-0,34	-1,38	-1,71	-3,43
	0,33	-0,33
		1,37	-0,33	1,34	1,37	2,38
			0,67	-0,04		0,63
		-1,27	-0,34	-1,30	-1,27	-2,91
	0,33	0,03
		1,71	-0,33	1,34	1,71	2,72
			0,67	-0,37		0,30
		-0,60	-0,34	-0,97	-0,60	-1,91
	0,33	0,37
		}