Если два тела I и II (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R A , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно раз­ложить на две составляющие: N A , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А, и Т А, лежащую в касательной плоскости. Составляющая N A называется нормальной реакцией, сила Т А называется силой трения скольжения - она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксио­мой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I дей­ствует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной пло­скости, называется силой нормального давления. Сила трения Т А = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя. Максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. T max =fN. (6.3)– закон Амонтона-Кулона. Коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Его значение не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверх­ностей. Силу трения можно вычислить по ф-ле T=fN только если имеет место критический случай. В других случаях силу трения следует определять из ур-ий равнов. На рисунке показана реакция R (здесь активные силы стремятся сдвинуть тело вправо). Угол j между предельной реакцией R и нормалью к поверхности называется углом трения. tgj=T max /N=f.

Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции R образует коническую поверхность - конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент тре­ния f во всех направлениях одинаков, то конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения f зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым. Если равнодействующая активных сил. нахо­дится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела; для того чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил F находилась вне конуса трения. Рассмотрим трение гибких тел (рис.6.8). Формула Эйлера помогает найти наименьшую силу P, способную уравновесить силу Q. P=Qe -fj* . Можно так же найти такую силу P, способную преодолеть сопротивление трения вместе с силой Q. В этом случае в формуле Эйлера поменяется только знак f: P=Qe f j* .

3.4.1 Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения

Трением скольжения называется сопротивление, возникающее при относительном скольжении двух соприкасающихся тел.

Величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению одного из соприкасающихся тел на другое:

Реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали на некоторый угол φ (рис. 3.7). Наибольший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения.

Рис. 3.7

Реакция слагается из двух составляющих: нормальной реакции и перпендикулярной ей силы трения , которая направлена противоположно возможному перемещению тела. Если твердое тело на шероховатой поверхности находится в покое, то в этом случае трение называется статическим. Максимальная величина силы статического трения определяется равенством

где статический коэффициент трения.

Этот коэффициент обычно больше коэффициента трения при движении.

Из рис. 3.7 видно, что угол трения равен значению

. (3.26)

Равенство (3.26) выражает связь между углом трения и коэффициентом трения.

Методика решения задач статики при наличии трения остается такой же, как и в случае отсутствия трения, т. е. сводится к составлению и решению уравнений равновесия. При этом реакцию шероховатой поверхности следует представить двумя составляющими - нормальной реакцией и силой трения.

Следует иметь в виду, что в таких задачах расчет ведется обычно на максимальную величину силы трения, которая определяется формулой (3.25).

Пример 3.6:

Груз А веса Q лежит на шероховатой плоскости, наклоненной к

горизонту под углом α, и удерживается нитью, намотанной на ступень блока радиуса R. При каком весе Р груза В система будет находиться в равновесии, если коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f , а радиус меньшей ступени блока (рис. 3.8).

Рассмотрим равновесие груза В, на который действует сила тяжести и реакция нити , причем численно (рис. 3.8 , а). На груз А действуют сила тяжести , реакция нити, нормальная реакция наклонной плоскости и сила трения . Так как радиус r меньшей ступени блока в два раза меньше большей ступени, то в положении равновесия , или

Рассмотрим случай, при котором существует равновесие груза А, но так, что увеличение силы тяжести P груза В вызовет перемещение груза А вверх (рис. 3.8, б). В этом случае сила трения направлена вниз по наклонной плоскости, причем . Выберем оси х и у, указанные на рисунке, и составим два уравнения равновесия системы сходящихся сил на плоскости:

(3.27)

Получим, что , тогда сила трения .

Подставим в равенство (3.27) значения и , найдем величину Р :

Теперь рассмотрим случай, когда существует равновесие груза А, но так, что уменьшение силы тяжести Р груза В вызовет перемещение груза А вниз (рис. 3.8, в). Тогда сила трения будет направлена вверх по наклонной плоскости. Так как значение N не изменится, то достаточно составить одно уравнение в проекции на ось х:

. (3.29)

Подставив в равенство (3.29) значения и , получим, что

Таким образом, равновесие данной системы будет возможно при условии

3.4.2. Равновесие твердого тела при наличии трения качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Представление о природе трения качения можно получить, выходя за пределы статики твердого тела. Рассмотрим цилиндрический каток радиуса R и веса Р , опирающийся на горизонтальную плоскость. Приложим к оси катка силу , меньшую силы трения (рис. 3.9, а). Тогда сила трения , численно равная , препятствует скольжению цилиндра по плоскости. Если нормальная реакция приложена в точке А, то она уравновесит силу , а силы и образуют пару, вызывающую качение цилиндра даже при малом значении силы S.

В действительности, вследствие деформаций тел касание их происходит вдоль некоторой площади АВ (рис. 3.9, б). При действии силы интенсивность давления у точки А убывает, а у точки В возрастает. В результате нормальная реакция смещается в сторону действия силы на величину k , которая называется коэффициентом трения качения. Этот коэффициент измеряется в единицах длины.

В идеальном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил с моментом и вторая пара сил , удерживающая каток в равновесии. Момент пары, называемый моментом трения качения, определяется формулой

Из этого равенства следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения: , где f - коэффициент трения скольжения. Таким образом, чистое качение возможно при условии .

Следует различать направление смещения точки приложения нормальной реакции ведущего и ведомого колеса. Для ведущего колеса деформационный валик, вызывающий смещение точки приложения нормальной реакции плоскости, находится слева от его центра С, если колесо будет двигаться вправо. Поэтому для этого колеса направление силы трения совпадает с направлением его движения (рис. 3.10, а). В ведомом колесе деформационный валик смещен относительно центра С в направлении движения. Следовательно, сила трения в этом случае направлена в сторону, противоположную направлению движения центра колеса.

Пример 3.7:

Цилиндр веса Р =10 Н и радиуса R = 0,1 м находится на шероховатой плоскости, наклоненной под углом α = 30˚ к горизонту. К оси цилиндра привязана нить, перекинутая через блок и несущая на другом конце груз В. При каком весе Q груза В цилиндр не покатится, если коэффициент трения качения равен k = 0,01 м (рис. 3.11, а)?

Рассмотрим равновесие цилиндра в двух случаях. Если величина силы Q имеет наименьшее значение, то возможно движение цилиндра вниз по наклонной плоскости (рис. 3.11, б). К цилиндру приложены вес цилиндра и натяжение нити . В этом случае нормальная реакция наклонной плоскости будет смещена на расстояние k влево от перпендикуляра, опущенного из центра цилиндра на наклонную плоскость. Сила трения направлена вдоль наклонной плоскости противоположно возможному движению центра цилиндра.

Рис. 3.11

Для определения значения достаточно составить уравнение равновесия относительно точки С . При вычислении момента силы относительно этой точки силу разложим на составляющие: составляющая перпендикулярна наклонной плоскости, а составляющая параллельна этой плоскости. Момент силы и относительно точки С равны нулю, т. к. они приложены в этой точке:

Откуда

Во втором случае, когда сила Q достигает максимального значения, возможно перемещение центра цилиндра вверх по наклонной плоскости (рис. 3.11, в). Тогда силы и будут направлены аналогично первому случаю. Реакция , наклонной плоскости будет приложена в точке и смещена на расстояние k вправо по наклонной плоскости. Сила трения направлена противоположно возможному движению центра цилиндра. Составим уравнение моментов относительно точки .

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения. При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и, где. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо величину и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины.

Пример 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.28). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a .

К телу в точке С , лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила и в точке А , лежащей на расстоянии от основания, горизонтальная сила. Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции и силе трения. Линия действия силы неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы обозначим x ().

Составим три уравнения равновесия:

Согласно закону Кулона, т.е. . (1)

Проанализируем полученные результаты:

Будем увеличивать силу.

Если, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности.

Если, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины, условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h . Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет).

Пример 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.29)? Если вес человека - Р , коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной - , между лестницей и полом - .

Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу, нормальные реакции и и добавляем силы трения: и. Полагаем, что человек находится на расстоянии, при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия.

Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получи

Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая, получим, после преобразований

Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом (рис.30), то нормальная реакция, а сила трения. Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие. или. И так как , то. Значит угол должен быть больше угла. Следовательно, если сила действует внутри угла или конуса трения (), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения.

Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр.

Пример 3. Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную цилиндрическую поверхность (рис.31). За счёт сил трения натяжение левого и правого концов этой нити будут различными.

Рис. 31

Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяются равномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити длиной. (рис.32). На левом конце этого участка натяжение, на правом. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:

Так как угол - малая величина, то полагаем С учётом этого из уравнений находим и, так как, имеем или Интегрируя, получим. Или

Этот результат называется формулой Эйлера.

Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и, а коэффициент трения, то отношение натяжений. А, обернув цилиндр один раз (), то есть можно удержать груз на другом конце нити силой почти в три раза меньшей веса тела.

Если два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А , то всегда реакцию , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I , можно разложить на две составляющие: , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А и , лежащую в касательной плоскости. Составляющая называется нормальной реакцией , сила называется силой трения – она препятствует скольжению тела I по телу II . В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления . Как было сказано выше, сила трения , если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты, и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения проведем опыт по схеме, представленной на рис. К телу В , находящемуся на неподвижной плите D , присоединена перекинутая через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой А . Если площадку А постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S , которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения будет удерживать тело В в покое. На рис. изображены действующие на тело В силы, причем через обозначена сила тяжести, а через – нормальная реакция плиты D .

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

Отсюда следует, что и . Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити . Обозначим через силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело В теряет равновесие и начинает скользить по плите D . Следовательно, если тело находится в равновесии, то

Максимальная сила трения зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления . Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т.е. имеет место равенство

Это соотношение носит название закона Амонтона – Кулона .

Безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения . Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей , но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Задача 6.1. Тяжелая плита АВ веса , длины l опирается на идеально гладкую стену ОВ и шероховатый пол ОА . Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен . Составим уравнение равновесия:

,

,

.

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

Решая уравнения, получим

, .

Следовательно,

Последнее неравенство и содержит решение задачи. Критическое значение угла определяется из уравнения

Определим теперь критическое значение угла с учетом трения плиту о стенку, если соответствующий коэффициент трения также равен .

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

и три уравнения равновесия

, , .

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Задача 6.2. На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтальной плоскостью, находится тело весом . Тело удерживается на плоскости тросом АВ , весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса S при двух значениях коэффициента трения: и .

Решение. На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести , сила трения , нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса . Составим уравнения равновесия тела:

,

,

Отсюда найдем:

,

или, учитывая условия задачи,

Для первого случая будем иметь: . При отсутствии троса получим . Так как при этом условие не нарушается, то это означает, что при тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения .

Пусть теперь . Тогда должно выполняться условие . При отсутствии троса это неравенство находится в противоречии с первым уравнением . Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при сила трения достигает своего максимального значения , а натяжение троса будет .

Задача 6.3. К однородной прямоугольной призме веса , находящейся на горизонтальной поверхности, прислонена под углом однородная балка веса и длины . Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен , а между призмой и плоскостью . Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить:

Решение. Расчленим систему и изобразим все силы(активные и реакции связей), действующие на призму и балку. На призму действуют сила тяжести , сила давления плоскости балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости , приложенная в некоторой точке D , и сила трения . На балку действуют сила тяжести , сила давления призмы на балку, нормальная составляющая реакции плоскости и сила трения . Конечно, модули сил и равны между собой (аксиома 4).

,

,

,

Из уравнений находим

Внеся значения и в неравенство, получим условия равновесия балки:

Составим теперь условия равновесия призмы:

,

,

,

Из уравнений находим

, , .

Число нам неизвестно, но его можно найти из равенства , или

;

Так как точка приложения силы не может находиться левее точки , то , или

что дает нам еще одно условие равновесия:

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы призма не опрокинулась вокруг ребра (его можно получить из условия, чтобы момент силы относительно точки не превосходил по модулю момента силы относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы призма не скользила по плоскости, т.е. чтобы выполнялось неравенство

Имеем: , . Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол удовлетворяет трем условиям:

Если будет нарушено только первое из этих неравенств:

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие:

точка балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра .

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6):

точка баки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. показана предельная реакция и ее составляющие и

(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения направлена влево). Угол между предельной реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. имеем

или, пользуясь выражением (6.4)

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность – конус трения . Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения зависит от направления возможного движения, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей , составляющей угол с нормалью к поверхности. Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая определяет нормальную составляющую реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения , а во-вторых, ее касательная составляющая стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы , то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы и определяется только углом – чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим уравнения равновесия тела:

,

,

Из уравнений найдем , и, подставляя их в неравенство, получим

или, учитывая, (6.7), . Следовательно, при равновесии тела

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела: для того, чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения.

Задача 6.4. Найти условие, определяющее размер самотормозящегося механизма, изображенного на рис. Необходимо, чтобы приложенная к узлу С сила не могла вызвать скольжения ползунов А и В по вертикальным направляющим. Коэффициент трения , расстояние между направляющими м.

Решение. Сила вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

Но , поэтому м.

Рассмотрим теперь трение гибких тел . Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса , достаточную для уравновешивания силы , приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение.

Опыт показывает, что благодаря трению сила может быть во много раз меньше, чем сила . Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки).

Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата . Обозначим через и значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла , определяющего положение элемента, т.е. , . Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией , т.е. . .Найти угол охвата судна может выдержать матрос, прикладывая силу